Касательная к графику функции

Как найти уравнение нормали к графику функции в заданной точке? Высшая математика — просто и доступно! Если сайт упал, используйте ЗЕРКАЛО: Зарегистрируйтесь на и будьте касательная к графику функции курсе новостей проекта! Высшая математика: Не нашлось нужной задачи? Учимся решать: Аналитическая геометрия: Элементы высшей алгебры: Пределы: Производные функций: Функции и графики: ФНП: Интегралы: Дифференциальные уравнения: Числовые ряды: Функциональные ряды: Кратные интегралы: Комплексный анализ: Теория вероятностей: Помогут разобраться в теме, подготовиться к экзамену Выжми по максимуму из учебных материалов! Как найти уравнение нормали к графику функции в касательная к графику функции точке? На данном уроке мы узнаем, как найти уравнение нормали к в точке и разберём многочисленные примеры, которые касаются этой задачи. Для качественного усвоения материала нужно понимать и уметь их находить хотя касательная к графику функции на уровне следующих статей: и. Перечисленные уроки позволят «чайникам» быстро сориентироваться в теме и поднять свои навыки дифференцирования практически с полного нуля. По существу, сейчас последует развёрнутое продолжение параграфа об 3-й статьи из вышеприведенного списка. Уравнение нормали тесно связано с уравнением касательной. Помимо прочего я рассмотрю задачи о том, как построить уравнения этих линий в ситуациях, когда функция либо. Но сначала освежим воспоминания: если функция в точке т. Однако дело этим не ограничивается: если в точке существует бесконечная производная:то касательная будет параллельна оси и её уравнение примет вид. Дежурный пример: функция с производнойкоторая обращается в бесконечность вблизи. Соответствующая касательная выразится уравнением: ось ординат. Если же производной не существует например, производной от в точкето, разумеется, не существует и. Как различать последние два случая, я расскажу касательная к графику функции позже, а пока что вернёмся в основное русло сегодняшнего урока: Что такое нормаль? Нормалью к графику функции в точке называетсяпроходящая через данную точку перпендикулярно касательной к графику функции в этой точке понятно, что касательная должна существовать. Если совсем коротко, нормаль — это перпендикулярная к касательной прямая, проходящая через точку касания. Как найти уравнение нормали? Из напрашивается очень простой алгоритм: находим и представляем его в. Далее «снимаем» и составляем уравнение нормали по точке и направляющему вектору. Этот способ применять можно, но в математическом анализе принято пользоваться готовой формулой, основанной на. Если существует конечная и отличная от нуля производнаято уравнение нормали к графику функции в точке выражается следующим уравнением: Особые случаи, когда равна нулю либо бесконечности мы обязательно рассмотрим, но сначала «обычные» примеры: Пример 1 Составить уравнения касательной и нормали к графику кривой в точке, абсцисса которой равна. В практических заданиях часто требуется найти и касательную тоже. Теперь вычислим : Получено конечное число и это радует. Подставим и в касательная к графику функции : Перебросим наверх левой части, раскроем скобки и представим уравнение касательной в : Вторая часть задания ничуть не сложнее. Уравнение нормали составим по формуле: Избавляемся от и доводим уравнение до ума: — искомое уравнение. Ответ: Здесь можно выполнить частичную проверку. Касательная к графику функции, координаты точки должны удовлетворять касательная к графику функции уравнению: — верное равенство. И, во-вторых, должны быть ортогональны. Это элементарно проверяется с помощью :что и требовалось проверить. Как вариант, вместо нормальных векторов можно использовать. Это «слабое звено» задания — будьте предельно внимательны! Следующая задача для самостоятельного решения: Пример 2 Составить уравнения касательной и нормали к графику функции в точке. Примерный образец чистового оформления задания в конце урока. Теперь разберём два особых случая: 1 Если производная в точке равна нулю:то уравнение касательной упростится: То есть, касательная будет параллельна оси. Соответственно, нормаль будет проходить через точку параллельно осиа значит её уравнение примет вид. И касательная к графику функции нормаль проходит через точку параллельно осито её уравнение выразится «зеркальным» образом: Всё просто: Пример 3 Составить уравнения касательной и нормали к параболе в точке. Требование выполнить чертёж я не добавлял — так было сформулировано касательная к графику функции в оригинале. Решение: составим уравнение касательной. Как видите, в общем случае это утверждение некорректно. Согласнокасательной является именно зелёная, а не синяя прямая. Информация, выделенная курсивом, предназначена для читателей с высоким уровнем подготовки, которые хорошо разобрались са также имеют опыт : Пример 5 Найти уравнения касательной и касательная к графику функции к графику функции в точке Решение : в знаменатель производной обращается в ноль, и поэтому здесь нужно вычислить односторонние производные с помощью определения производной см. Формально по формуле: Для лучшего понимания задачи приведу чертёж: Ответ : Я рад, что вы не ушли бороздить просторы Интернета, потому что всё самое интересное только начинается! Чтобы осилить материал следующего параграфа, нужно уметь находить : Как найти уравнение касательной и уравнение нормали, если функция задана неявно? Формулы касательной и нормали остаются прежними, но меняется техника решения: Пример 6 Найти уравнения касательной и нормали к кривой в точке. Решение: судя по уравнению, это какая-токакая именно — нас сейчас совершенно не интересует. В уравнении присутствует зловреди поэтому перспектива выразить функция в явном виде выглядит весьма туманной. Касательная к графику функции этого и не требуется! Есть куда более остроумное решение. Уравнение касательной составим по той же формуле. Из условия известны значениякстати, не помешает убедиться, что они действительно удовлетворяют предложенному уравнению: Получено верное равенство, значит, с точкой всё в порядке. Сначала по стандартной схеме найдём : Перепишем результат с более подходящим для нашей задачи обозначением: На касательная к графику функции шаге в найденное выражение производной подставим : Вот так-то! Осталось аккуратно разобраться с уравнением: Составим уравнение нормали: Ответ: Готово! А поначалу представлялось всё непросто. Хотя производная здесь, конечно, — место уязвимое. Ведь найти производную от на порядок легче! Она тут чуть ли не самая примитивная. Краткое решение и ответ касательная к графику функции конце урока. Как найти уравнение касательной и уравнение нормали, если функция задана параметрически? Но для этого нужно потренироваться в нахождении. А так касательная к графику функции почти халява: Пример 8 Составить уравнения касательной и нормали к циклоидепроведенные в точке, для которой. Чертёж циклоиды можно найти на странице так получилось, что эта статья была создана раньше. Там даже изображена точка касания. Решение: абсцисса и ордината точки касания рассчитываются непосредственно касательная к графику функции параметрических уравнений кривой: Найдём : И касательная к графику функции её значение при : Уравнение касательной составим по обычной формуле с поправкой на несколько другие обозначения: Уравнение нормали: Ответ: В заключение предлагаю познакомиться с ещё одной интересной линией: Пример 9 Составить уравнение нормали к полукубической параболепроведенной в точке, касательная к графику функции которой. Это пример для самостоятельного решения. Напоминаю, что графики параметрически заданных функций можно построить, например, с помощью моего. Решения и ответы: Пример 2: Решение: уравнение касательной составим по формуле: В данном случае: Таким образом: Касательная к графику функции нормали составим по формуле : Ответ : Пример 4: Решение: уравнение касательной составим по формуле: В данной задаче: Таким образом: В точке касательная параллельна осипоэтому соответствующее уравнение нормали: Ответ : Пример 7: Решение: в данной задаче:. Найдём производную: Или: Подставим в выражение производной : Искомое уравнение нормали: Ответ : Пример 9: Решение: в данном случае: Найдём производную и вычислим её значение при : Уравнение нормали: Ответ : Автор: Емелин Александр.

Также смотрите:

Комментарии:
  • Бурхон Киличев

    27.11.2015

    Решаем относительно t уравнение и для каждого его решения t записываем соответствующую касательную в виде.