Свойства последовательности фибоначчи

Числа Фибоначчи Числа Фибоначчи Задача о кроликах. Пусть имеется пара кроликов. Свойства последовательности фибоначчи, что от каждой пары кроликов каждый месяц рождается новая пара кроликов, которая в свою очередь становится способной производить потомство в возрасте одного месяца. Требуется определить, сколько пар кроликов будет через n месяцев. Вначале изложим историю этой задачи, затем её решение и другие задачи связанные с ней. Говоря об античной математике, каждый назовет таких математиков, как Евклид, Пифагор, Герон и др. Одним из самых знаменитых математиков средних свойства последовательности фибоначчи, наравне с Виетом был Леонардо из Пизы, известный под именем Фибоначчи сокращенное filius Bonacci, т. Фибоначчи родился в Италии в 1175г. Вернувшись в Италию, в 1202г. Этот трактат, содержавший почти все арифметические и алгебраические сведения того времени, сыграл главную роль в течении последующих столетий в развитии математики в Европе. В частности, на основе этого трактата, европейцы познакомились с арабскими цифрами, т. Также Фибоначчи публикует: в 1220г. Трактат "Liber abacci" был переиздан в 1228г. Одна из задач упоминаемая в "Liber abacci" называется "задача о кроликах" с. Перейдем к решению этой задачи. Пусть f n число пар кроликов после n месяцев. Число пар кроликов после n + 1 месяцев f n+1, будет равно числу пар на n-ом месяце, т. Поскольку кролики свойства последовательности фибоначчи от пары свойства последовательности фибоначчи возраста больше одного месяца, новорожденных кроликов будет f n-1 пар. Каждый член этой последовательности, начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих. Таким образом, "задача о кроликах" свелась к решению функционального уравнения свойства последовательности фибоначчи, т. Из получим Таким образом, последовательности свойства последовательности фибоначчи равенству. Отсюда заключаем, что уравнение имеет много решений. В общем, существует бесконечное число последовательностей, удовлетворяющих. Легко заметить, что последовательность вида 6 где c 1, c 2 - фиксированные действительные константы, также удовлетворяет. Более того, можно показать, что любая последовательность, удовлетворяющая равенству имеет вид. Имея другие цели, не будем доказывать этот факт в рамках этой работы. Возвращаясь к последовательности Фибоначчи, отметим, что эта последовательность однозначно определена, и однозначность обеспечивается первыми двумя членами, т. Сложив все эти равенства почленно, получим f 1 + f 2 +. Свойства 2 ° - 3 ° доказываются аналогично 1 °. Складывая эти равенства почленно получаем. Зная общий вид члена f n см. Докажем используя метод математической индукции. Проведем индукцию по m О Член f 2 n делится на f n. Свойства 8 ° - 9 °, являющиеся прямыми следствиями 6 °, предлагается доказать самостоятельно. Будем доказывать равенство индукцией по n. Прибавим к обеим частям последнего равенства f n· f n+1. Следовательно справедливо и для n + 1. Показать, что если n делится на m, то f n делится на f m. Пусть n m, т. Докажем свойство 11 ° индукцией по k. Предположим, свойства последовательности фибоначчи f mk делится на f m. Рассмотрим f m k+1. Первый член суммы из правой части равенства, очевидно, делится на f m. Второй член делится на f m согласно индукционному предположению. Следовательно сумма этих членов делится на f m, и значит, f m k+1 f m. Свойство 11 ° доказано. Для ознакомления с другими свойствами чисел Фибоначчи, связанными с делимостью, геометрией, теорией алгоритмов и т. Задачи для самостоятельного решения Пусть f n n О N последовательность Фибоначчи. Свойства последовательности фибоначчи, что: Число Фибоначчи f n четно тогда и только тогда, когда n делится на 3; Число Фибоначчи f n делится на 3 тогда и только тогда, когда n делится на 4; f n 4 тогда и только тогда, когда n 6; f n 5 тогда и только тогда, когда n свойства последовательности фибоначчи f n 7 тогда и только тогда, свойства последовательности фибоначчи n 8; f n 16 тогда и только тогда, когда n 12. Hincin, Fractii continue, Ed. Popa, Metoda sirurilor recurente, Editura GIL, ZALAU. Воробьёв, Числа Фибоначчи, Москва, Наука, 1992. Маркушевич, Возврватные последовательности, Москва, Наука, 1975.

Также смотрите:

Комментарии:
  • Афа Асадова

    21.10.2015

    В свою очередь, золотые константы позволяют легко определить любой член главных последовательностей по соответствующей алгебраической формуле.