Точки экстремума на графике производной

Нахождение эктремумов функции может быть как самостоятельной задачей, так и одним из этапов. Точки экстремума - объединяющий термин для точек максимума и минимума, а значения функций точки экстремума на графике производной этих точках называются экстремумами функции. Рассмотрим график непрерывной функции. Из рисунка сверху видно, что значение функции в точке меньше, чем значения функции в достаточно близких к ней точках, соседних с ней справа и слева. В этом случае говорят, что функция имеет в точке минимум. В точке значение функции больше значений функции в достаточно близких к ней точках, расположенных справа и слева от неё. В этом случае говорят, что функция имеет в точке максимум. А теперь строгие определения точек экстремума. Функция имеет минимум в точкеесли существует такая окрестность точкичто для всех из этой окрестности выполняется неравенство Функция имеет максимум в точкеесли существует такая окрестность точкичто для всех из этой окрестности выполняется неравенство Из приведённых определений следует, что экстремум функции имеет локальный характер - это наибольшее и наименьшее значение функции по сравнению с близлежайшими значениями. На промежутке функция может иметь несколько экстремумов, причём может оказаться, что какой-либо минимум точки экстремума на графике производной больше какого-либо максимума. Так, для функции изображённой на рисунке в начале статьи. Следующая теорема позволяет ответить на вопрос, в каких точках функция может достигать экстремума. Теорема Ферма необходимый признак экстремума. Если функция дифференцируема в точке имеет в этой точке экстремум, то её производная при обращается в нуль, т. Теорема Ферма имеет простое геометрическое истолкование. Так как производная в точке равна угловому коэффициенту касательной к графику функции в этой точке, то равенство означает, чтот. Дифференцируемая функция может иметь экстремум лишь в тех точках, где производная равна нулю. Однако функция может иметь экстремум и в тех точках области определения, где производная не существует. Функция, изображённая на рисунке сверху, имеет в точки экстремума на графике производной максимум, но не дифференцируема в этой точке, так как при касательная к точки экстремума на графике производной образует с осью Ox угол. Условия о том, что производная функции в точке равна нулю или не существует, являются необходимыми условиями экстремума, но не достаточными, поскольку можно привести примеры функций, для которых эти условия выполняются, но экстремума в соответствующей точке функция не имеет. Те значения аргумента, при которых функция сохраняет непрерывность, а её производная обращается в нуль или не существует, называются критическими точками или критическими значениями аргумента. Теорема Ферма является лишь необходимым признаком экстремума, так как не в каждой критической точке экстремум существует. Поэтому нужно располагать достаточными признаками, позволяющими судить, имеется ли в конкретной критической точке экстремум и какой именно - максимум или минимум. Первый достаточный признак экстремума. Если - критическая точка функции f x и в некоторой окрестности этой точки слева и справа от неё производная имеет противоположные знаки, то является экстремумом функции, причём: 1 максимумом, если при и при ; 1 минимумом, если при и при. Если же вблизи точкислева и справа от неё, производная сохраняет знак, то это означает, что функция либо только убывает, либо только возрастает в некоторой окрестности точки. В этом случае в точке экстремума нет. Таким образом, если - критическая точка f x и при переходе через производная меняет знак, то есть точка экстремума, причём точка максимума, если производная меняет знак с плюса на минус, и точка минимума, если с минуса на плюс. В противном случае в точке экстремума нет. Исследовать на экстремум функцию и построить её график. Функция определена и непрерывна на всей числовой прямой. Её производная существует также на всей числовой прямой. Поэтому в данном случае критическими точками служат лишь те, в которыхт. Кртическими точками и разбивают всю область определения функции на три интервала монотонности:. Выберем в каждой из них по одной контрольной точке и найдём знак производной в этой точке. Для интервала контрольной точкой может служить : находим. Взяв в интервале точкуполучима взяв в точки экстремума на графике производной точкуимеем. Итак, в интервалах иа в интервале. Согласно первому достаточному признаку экстремума, в точке экстремума нет так как производная сохраняет знак в интервалеа в точке функция имеет минимум поскольку производная при переходе через эту точку меняет знак с минуса на плюс. Найдём соответствующие значения функции: точки экстремума на графике производной, а. В интервале функция убывает, так как в этом интервалеа в интервале возрастает, так как в этом интервале. Чтобы уточнить построение графика, найдём точки пересечения его с осями координат. При получим уравнениекорни которого ит. Используя все полученные сведения, строим график см. Второй достаточный признак экстремума. Если функция f x дважды дифференцируема и в точке выполняются условия ито в этой точке функция имеет экстремум, причём максимум, еслии минимум, если. Если точки экстремума на графике производной точке образаются в нуль обе производные, точки экстремума на графике производной в этой точке нельзя судить о наличии точки экстремума на графике производной на основании второго достаточного признака. В этом случае нужно воспользоваться первым достаточным признаком экстремума. Второй достаточный признак экстремума неприменим и тогда, когда в критической точке первая производная не существует тогда не существует и вторая производная. В этом случае также нужно вопользоваться первым достаточным признаком экстремума. Исследовать на экстремум функцию и построить её график. Областью определения функции является вся числовая прямая, кроме точкит. Для сокращения исследования можно воспользоваться тем, что данная функция чётная, так как. Поэтому её график симметричен относительно оси Oy исследование можно выполнить только для интервала. Находим производную и критические точки функции: 1 ; 2но функция терпит разрыв в этой точке, поэтому она не может быть точкой экстремума. Таким образом, заданная функция имеет две критические точки: точки экстремума на графике производной. Учитывая чётность функции, проверим по второму достаточному признаку экстремума только точку. Для этого найдём вторую производную и определим её знак при : получим. Так как ито является точкой минимума функции, при этом. Чтобы составить более полное представление о графике функции, выясним её поведение на границах области определения: здесь символом обозначено стремление x к нулю справа, причём x остаётся положительным; аналогично означает стремление x к нулю слева, причём x остаётся отрицательным. Таким образом, еслито. Далее, находимт. Точек пересечения с осями график функции не имеет. Рисунок - в начале примера. Весь блок "Производная" Применение производной к исследованию функций.

Также смотрите:

Комментарии:
  • Алла Павенская

    13.10.2015

    Точки экстремума - это точки минимума и максимума функции f x. Однако функция может иметь экстремум и в тех точках области определения, где производная не существует. Найдите количество точек экстремума - Подготовка к ЕГЭ 7 янв 2014...